Markov的さいころ（改）

MA方面に次のような問題がありました。
（PC版でないと式が出ないようです。）

７面のさいころが６個あって、それぞれ１が２面、２が２面、３が２面、、、６が２面に書かれている。各面の出る確率は等しい。１回振って１が出たら次は１が２面のものを振る。２が出たら２が２面のものを振る。以下同様とする。このとき、１から６までの目が出る確率は等しいかどうか。

答え：等しい。

理由：

１が出た後に１が出る確率は2/7、他は1/7。他の目も同様。同じ目が続く確率は2/7で他は等確率。つまり、xの目が出た後にy の目が出る確率 $p_{xy}$ について、$p_{xx}=2/7$ , $p_{xy}=1/7, (x\ne y)$となる。

ある時点でxの出る確率$p_x$を決めておくと、次に１が出る確率$q_1$は
$$q_1=p_1 \cdot 2/7+p_2\cdot 1/7 +\dots + p_6\cdot 1/7$$
であり、他の目についても同様。

したがって、推移確率行列は次の通り。
  $$\begin{pmatrix} 2/7 & 1/7 & 1/7 & 1/7 & 1/7 & 1/7\\ 1/7 & 2/7 & 1/7 & 1/7 & 1/7 & 1/7\\ 1/7 & 1/7 & 2/7 & 1/7 & 1/7 & 1/7\\ 1/7 & 1/7 & 1/7 & 2/7 & 1/7 & 1/7\\ 1/7 & 1/7 & 1/7 & 1/7 & 2/7 & 1/7\\ 1/7 & 1/7 & 1/7 & 1/7 & 1/7 & 2/7 \end{pmatrix}$$
定常状態の確率$(p_1, p_2, p_3, p_4, p_5,p_6)$、言い換えると$q_x=p_x$となる確率は次を満たす。

$$(p_1, p_2, p_3, p_4, p_5,p_6)=(p_1, p_2, p_3, p_4, p_5,p_6) \begin{pmatrix} 2/7 & 1/7 & 1/7 & 1/7 & 1/7 & 1/7\\ 1/7 & 2/7 & 1/7 & 1/7 & 1/7 & 1/7\\ 1/7 & 1/7 & 2/7 & 1/7 & 1/7 & 1/7\\ 1/7 & 1/7 & 1/7 & 2/7 & 1/7 & 1/7\\ 1/7 & 1/7 & 1/7 & 1/7 & 2/7 & 1/7\\ 1/7 & 1/7 & 1/7 & 1/7 & 1/7 & 2/7 \end{pmatrix}$$

これは$p_x$が全て等しいときに成立するから、定常状態は
$(1/6,1/6,1/6,1/6,1/6,1/6)$となる。（以上）


初めに一回振るときは６つのさいころを等確率に選ぶとして、１の出る確率は
1/6 x 2/7 + 1/6 x 1/7 x 5 = 1/6 となるので、初期条件も定常状態。だから、何回振っても特定の目の出る確率は 「平均して」 1/6 になる。

ただし、１が２回続く確率はもちろん 1/6 x 2/7=1/21 で、1/36ではない。

さらに、一度１が出たところから始めれば
$(1,0,0,0,0,0)$を初期状態とするわけだから、２回目にそれぞれの目が出る確率は
$(2/7,1/7,1/7,1/7,1/7,1/7)$となる。３回目はこれに右から上の行列を掛けて
$(9/49,8/49,8/49,8/49,8/49)$。
いずれにしても、最初に出た目である1が出る確率は常に（少しだけ）大きく、無限に続ければ1/6に近づくということ。

いかさまに使えそうな確率のトリックかもしれない。