平均一定の二項分布たち

War-Games Advent Calendar 2018 https://adventar.org/calendars/3461 の記事です。すみません今年もゲームなしです。

平均一定の二項分布たち、試行回数を増やすと少数の法則が成立して、ポアソン分布になります。滅多に起きない事象についての法則で、製品の不良率の評価などに使われるそうです。

というのは、二項分布
$$Prob(X=k)={}_nC_k p^k(1-p)^{n-k}$$
の平均が$np$だから、平均$N=np$を一定に保って試行回数$n$を大きくすると確率$p$は$p=N/n$に決まって、この確率自体は小さくなります。じゃあ$k$回当たる確率
$$Prob_n(X=k)=\frac{n!}{(n-k)!k!} (N/n)^k (1-N/n)^{n-k}$$
は$n$が増えるとどうなっていくのか、ということ。

これはつまり$N=2$で$n=3,4,6,12$の場合をはねはねさんがMAの日記で提案したものです。
 2018年11月20日12:41
1対1の差しでの勝負、打撃の多いほうが勝ちというルールで先手だとして。みなさん、どれを選択しますか？
１．サイコロ振らずに2打撃
２．サイコロ3個振って、1-4で1打撃
３．サイコロ4個振って、1-3で1打撃
４．サイコロ6個振って、1-2で1打撃
５．サイコロ12個振って、1で1打撃

分散が$np(1-p)=2(1-2/n)$なので、 $n$が増えると増加しますから、どんどんブラッディになります、という指摘はコメントに見られます。

結論は、
$$\lim_{n\to\infty} Prob_n(X=k)=e^{-2}\frac{2^k}{k!}$$
となってこれはポアソン分布に他ならないのですが、これだけだとあれなので

2018年11月20日17:24 さかみちさんのコメント 

計算が違っていなければ、選択肢5に向かって期待値である2以上の確率は下がり、逆に3以上の確率は上がるので。

を$N=2$で確かめます。

負ける確率は、打撃0か1です。$n$が増えるにつれて1以下の確率が上がればよく、

まず
$$Prob_n(X=0)+Prob_n(X=1)=p^n+np(1-p)^{n-1}=(1-2/n)^n+2(1-2/n)^{n-1}$$
です。

自然対数の底を定義するときに現れる数列$(1+1/n)$は単調増加なので、同じようにして$(1-2/n)^n$も単調増加。

というわけで $n$が増えると２以上の確率は下がります。収束先は$3e^{-2}=3/e^2$です。

2になる確率を計算すると,
$$Prob_n(X=2)=\frac{n(n-1)}{2}(2/n)^2(1-2/n)^{n-2}=2(1-1/n)(1-2/n)^{n-2}=2\frac{1-1/n}{(1-2/n)^2}(1-2/n)^n$$
これは$n$が増えると減少し、$2/e^2$に収束します。結局、打撃が3以上になる確率は$n$が増えると増えます。増えますけど、打撃が0か1になる確率もそれなりにあるので、選択は難しい。大きな打撃を与える確率は非常に小さくなりますから、少数の法則そのものです。