死守できるターン数の期待値

\(p\)をステップロスする確率として、ステップロスするターン数の期待値は

\[
 \sum_{n=1}^\infty n(1-p)^n=p\sum_{n=1}^\infty n(1-p)^{n-1}=p(\sum_{n=1}^\infty (1-p)^{n})'=-p(\frac{1-p}{1-(1-p)})'
\]
\[
=-p(\frac{1-p}{p})'=-p(\frac{1}{p}-1)'=1/p
\]
 ステップロスする確率の逆数というわかりやすい結果。